Soal Olimpiade Matematika SMA - Tebing Tinggi Science Olympiad 2025
AYO BERLATIH
Soal Olimpiade Matematika SMATebing Tinggi Science Olympiad 2025
| Nama Peserta | : | |
| Tanggal Test | : | |
| Jumlah Soal | : | |
| Waktu | : | 120 menit |
| Sisa Waktu | : |
1. Diberikan barisan bilangan real $(x_n)$ dengan $x_0=1$, $x_1=2$, dan untuk setiap $n\ge 2$, $A_nx_n-2B_nx_{n-1}-3C_nx_{n-2}=0$ dimana
$A_n=n^4-6n^3+15n^2-18n+10$
$B_n=n^4-4n^3+6n^2-4n+5$
$C_n=n^4-2n^3+3n^2-2n+2$
Sisa bagi $\frac{2x_{2025}}{2025^2+1}+1$ oleh 41 adalah ...
$A_n=n^4-6n^3+15n^2-18n+10$
$B_n=n^4-4n^3+6n^2-4n+5$
$C_n=n^4-2n^3+3n^2-2n+2$
Sisa bagi $\frac{2x_{2025}}{2025^2+1}+1$ oleh 41 adalah ...
2. Diberikan persamaan kubik $x^3+3x^2-6x-8=0$ dengan akar-akar $p$, $q$, dan $r$. Jika nilai dari $\frac{1}{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}+\frac{p}{qr}+\frac{q}{pr}+\frac{r}{pq}}$ dapat ditulis dalam bentuk $\frac{m}{n}$ untuk suatu bilangan asli koprima $m$ dan $n$, maka nilai dari $m+n$ adalah ...
3. Sebuah bilangan rasional dikatakan terang jika dapat dinyatakan sebagai $\frac{p}{q}$ dengan $p$ dan $q$ bilangan asli sehingga $p+q$ prima yang tidak lebih dari 21. Banyaknya bilangan terang adalah ...
4. Jika $p$, $q$, dan $r$ adalah bilangan prima sehingga $p-q=r$ dan $r < 2025$ serta M menyatakan nilai terbesar $r$, maka jumlahan semua digit M adalah ...
5. Diberikan segitiga ABC dengan lingkaran dalam yang berpusat di titik I dan menyinggung sisi-sisi AB dan AC berturut-turut di titik D dan E. Misalkan O adalah titik pusat lingkaran luar segitiga BIC. Jika $\angle AEO=110^\circ$, maka $\angle BDO$ = ...$^\circ$.
6. Untuk setiap bilangan real $x$, didefinisikan $\{x\}=x-\left\lfloor x \right\rfloor $. Banyaknya pasangan terurut bilangan bulat tak negatif $(a,b)$ yang memenuhi $\left\lfloor a \right\rfloor \left\lfloor b \right\rfloor -\left[ a \right]+\{a\}-2\left\lfloor b \right\rfloor =26,543$ dan $\{a\}+\{b\}=0,768$ adalah ...
7. Diberikan dua buah lingkaran yang saling lepas dengan pusat berturut-turut O dan P. Garis singgung persekutuan keduanya memotong lingkaran pertama di A dan lingkaran kedua di B. Diketahui titik M adalah titik tengah ruas garis AB. Sinar MO memotong lingkaran pertama di X dan Y, sedangkan sinar MP memotong lingkaran kedua di U dan V, dengan MX < MY dan MU < MV. Jika MU : MX = 3 : 1, maka MY : MV sama dengan ...
8. Pada suatu program komputer terdapat 10 variabel yang outputnya diacak dengan ketentuan sebagai berikut:
- 9 variabel $b_1$, $b_2$, ..., $b_9$ bertipe boolean (True atau False)
- 1 variabel $x$ bertipe integer dengan batasan $0 < x < f$, dengan $f$ adalah faktor prima terbesar dari 2022.
9. Misalkan titik M terletak pada busur BC di lingkaran luar segilima beraturan ABCDE. Jika nilai dari $\frac{MB+MC}{MA+MD+ME}$ dapat ditulis menjadi $\frac{1}{a\sin \theta {}^\circ +b}$ dengan $a$, $b$, dan $\theta $ merupakan bilangan bulat sehingga $0 < a,b < 6 < \theta < 90$, maka nilai dari $\theta -(a+b)$ adalah ...
10. Jika $\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}+\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=3$ dan $\frac{x^8+y^8}{x^8-y^8}-\frac{x^8-y^8}{x^8+y^8}=\frac{1}{a}$ maka $100a$ = ...
11. INAMO adalah ujian yang terdiri dari 6 soal. Untuk setiap soal, kamu menyerahkan sejumlah $p$ halaman tempat solusi soal itu ditulis. Pada halaman ke-$i$ untuk soal tersebut, kamu menulis pecahan $\frac{i}{p}$ untuk menunjukkan bahwa itu adalah halaman ke-$i$ dari $p$ halaman untuk soal itu. Ketika kamu menyerahkan kertas untuk INAMO 2017, pengawas yang bosan menghitung jumlah semua pecahan pada seluruh halaman yang kamu kumpulkan. Mengejutkan, jumlah tersebut ternyata sama dengan 2017. Banyak halaman yang terkumpul adalah ...
12. Diberikan segitiga tumpul ABC dengan titik tinggi H. Misalkan H’ sebagai refleksi titik H terhadap garis sumbu sisi BC. Jika H’ termuat pada $\overline{AC}$, maka nilai terbesar yang mungkin dari $\angle BCA$ (dalam derajat) adalah ...
13. Diberikan segitiga siku-siku ABC dengan $\angle A=90^\circ$ dan lingkaran dalam $\omega $. Diketahui $\omega $ menyinggung sisi-sisi BC, CA, dan AB berturut-turut di titik D, E, dan F. Misalkan $\overline{BE}$ memotong $\omega $ di titik $G\ne E$. Jika berlaku $\overline{DG}\parallel \overline{AC}$ dan jari-jari $\omega $ adalah 3, maka luas $\Delta ABC$ adalah ...
14. Hasil kali semua bilangan real $x$ sehingga $\frac{4^x+9^x}{6^x+3^x}=\frac{5}{4}$ adalah ...
15. Banyak kuadrupel bilangan bulat tak negatif $(a,b,c,d)$ yang tidak harus berbeda sehingga $a+b+c=d$ dan $d\le 11$ adalah ...
16. Tiga bilangan secara acak dipilih dari himpunan H = {2, 3, 4, ..., 2022} dengan tidak memperhatikan urutan. Jika peluang jumlah ketiga bilangan terpilih berparitas genap adalah $\frac{p}{q}$ dengan $p$ dan $q$ bilangan asli, maka nilai $p+q$ = ...
17. Misalkan ABCD adalah segitiga konveks yang tidak memiliki dua sisi sejajar dan tidak memiliki sudut siku-siku. Titik-titik P, Q, R, dan S berturut-turut terletak apda sisi-sisi AB, BC, CD, dan DA sedemikian sehingga $\frac{AP}{AB}=\frac{BQ}{BC}=\frac{CR}{CD}=\frac{DS}{AD}=k$. Jika $m$ adalah nilai terkecil $k$ sehingga luas PQRS sama dengan 82% dari luas ABCD, maka nilai $30m+7$ = ...
18. Jika $(m_1,n_1)$, $(m_2,n_2)$, $(m_3,n_3)$, ..., $(m_k,n_k)$, untuk suatu bilangan asli $k$, merupakan pasangan bilangan asli yang memenuhi $\sum\limits_{i=1}^{n}{i!}=m^2$, maka nilai $\sum\limits_{t=1}^{k}{(m_t+n_t)}$ = ...
19. Misalkan 4, $3p-2q$, $4q$, $5p-2q$ adalah 4 suku pertama pada suatu barisan aritmetika dengan $p$ dan $q$ adalah bilangan real. Jika M adalah suku ke-2025 pada barisan tersebut, maka jumlah semua digit penyusun M adalah ...
20. Nilai dari $\sum\limits_{k=1}^{2025}{\left\lceil \frac{2025}{k}-\left\lfloor \frac{2025}{k} \right\rfloor \right\rceil }$ adalah ...
21. Jika $m$ adalah nilai terkecil dari fungsi $f(x)=\frac{9}{1+\cos 2x}+\frac{25}{1-\cos 2x}$ untuk setiap bilangan real $x$ anggota domain $f$, maka nilai dari $7m-101$ adalah ...
22. Diketahui bahwa panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah bilangan bulat dan luasnya sama dengan kelilingnya. Luas terbesar yang mungkin dari segitiga ini adalah ...
23. Diberikan segitiga ABC yang terletak di dalam setengah lingkaran dengan radius 5. Jika AB = 10 dan $s=AC+BC$, maka nilai terbesar yang mungkin dari ${{s}^{2}}$ adalah ...
24. Pelatih sepak bola sekolahmu membawa 18 pemain ke Piala Kabupaten 2025, yang terdiri dari 3 penjaga gawang, 5 pemain bertahan, 5 gelandang, dan 5 penyerang. Gelandang ternyata cukup serbaguna sehingga dapat bermain baik sebagai pemain bertahan maupun gelandang, sedangkan pemain lainnya hanya dapat bermain di posisi yang ditentukan. Banyak susunan tim yang mungkin dapat dibuat pelatih, yang terdiri dari 1 penjaga gawang, 4 pemain bertahan, 4 gelandang, dan 2 penyerang adalah ...
25. Diberikan segitiga ABC. Misalkan D, E, dan F berturut-turut adalah titik-titik yang terletak pada $\overline{BC}$, $\overline{AC}$, dan $\overline{AB}$ sehingga $\overline{AD}$, $\overline{BE}$, dan $\overline{CF}$ merupakan tiga garis tinggi $\Delta ABC$. Misalkan, AD =10, BE =15, CF = 12, dan $s=\frac{1}{2}K$ dengan K adalah keliling $\Delta ABC$. Jika $s$ dapat ditulis dalam bentuk $\frac{p}{q}\sqrt{r}$ dengan $p$, $q$, dan $r$ merupakan bilangan asli bersifat $FPB(p,q)=1$, $p>q$, dan $r$ bukan kuadrat sempurna, maka $p+q+r$ = ...
26. Diberikan segitiga ABC. Misalkan M adalah titik tengah $\overline{BC}$ dan D adalah titik pada $\overline{BC}$ sehingga $\overline{AD}\bot \overline{BC}$. Misalkan pula O adalah titik pusat lingkaran luas $\Delta ABC$ dan H adalah titik tinggi (perpotongan ketiga garis tingi) $\Delta ABC$. Jika OHDM adalah persegi dengan panjang sisi 1 dan $\left| AC-AB \right|=a\sqrt{b}-\sqrt{c}$ dengan $a$, $b$, dan $c$ merupakan bilangan asli bersifat $b$ dan $c$ bukan kuadrat sempurna, maka nilai dari $20a+24b+2024c$ = ...
27. Diberikan segitiga ABC dengan AB merupakan diameter lingkaran luarnya. Misalkan titik D pada AB sehingga $CD\bot AB$. Selanjutnya, misalkan CE merupakan diameter lingkaran luar $\Delta ABC$ yang melalui titik pusatnya, namakan titik F. Diketahui $2AD=BD$. Jika $\frac{\left[ CDE \right]}{\left[ ABC \right]}=\frac{p}{q}$, dimana $p$ dan $q$ merupakan bilangan asli relatif prima, maka nilai dari $20p+24q$ adalah ...
28. Diberikan segitiga ABC dengan AC =2024 dan BC = 2025. Diketahui $\angle BCA=120^\circ$, jika garis bagi dalam $\angle BCA$ memotong lingkaran luar segitiga ABC di titik D dan CD = K, maka jumlahan digit-digit K adalah ...
29. Misalkan $m$ dan $n$ adalah akar-akar $x^2-13x+p=0$ untuk suatu bilangan bulat $p$. Jika $m$ dan $n$ prima, maka jumlah semua nilai $p$ yang mungkin adalah ...
30. Misalkan $a$ dan $b$ adalah dua bilangan asli berbeda yang hasil kali FPB dan KPK keduanya sama dengan 20. Banyaknya pasangan $(a,b)$ yang memenuhi kondisi tersebut adalah ...